sinx^tanx的极限

先可以求ln(sinx^tanx)的极限

lim(x->Л/2)tanx*lnsinx=lim(x->Л/2)lnsinx/(1/tanx)=lim(x->Л/2)[(1/sinx)*cosx]/[-(sinx)^2-(cosx)^2/(sinx)^2]=lim(x->Л/2)1/2*sin2x=0

(lnsinx/(1/tanx),0/0型,洛必达)

所以lim(x->Л/2)sinx^tanx=e^0=1

令A=lim(sinx)^tanx,x→π/2
则A=lim(sinx)^(2*tanx/2),x→π/2
=lim[1-(cosx)^2]^(tanx/2),x→π/2
=lim{1-1/[1+(tanx)^2]}^(tanx/2),x→π/2
=lim{1-1/[1+(tanx)^2]}^{[1+(tanx)^2]*tanx/2[1+(tanx)^2]},x→π/2
因为lim{1-1/[1+(tanx)^2]}^[1+(tanx)^2]=1/e，x→π/2
所以A=lime^{-tanx/2[1+(tanx)^2]},x→π/2
=lime^{-1/2[tanx+(1/tanx)]},x→π/2
因为lim{-1/2[tanx+(1/tanx)]}=0,x→π/2
所以A=e^(-0)=1
即lim(sinx)^tanx=1,x→π/2

lim ln(sinx^tanx)
=lim tanxlnsinx
=lim lnsinx/cotx
(根据洛必达法则)
=lim cotx/-sinx^2
=0
故lim sinx^tanx=1

这是个典型的1加上无穷小的无穷大次方
要化成,x趋于无穷大时，[1+1/x]^x的极限为e。为此，变形下：
[1+（sinx-1）]^tanx=[1+（sinx-1）]^{[1/（sinx-1）]*（sinx-1）/tanx}
=[1+（sinx-1）]^[1/（sinx-1）]*[（sinx-1）/